২৯৮ হতে শনিবার বিয়োগ করলে ৪৫৮৭ হয় ‘যদি ও কেবল যদি’ ১৬ কোটি গুণ ২ কোটি সমান ৩২ কোটি হয়

প্রথমেই উদ্ভট কথাটা আবারো বলি— “২৯৮ হতে শনিবার বিয়োগ করলে ৪৫৮৭ হয় যদি ও কেবল যদি ১৬ কোটি গুণ ২ কোটি সমান ৩২ কোটি হয়”!!!!

 

হুম, আজকে বলব ‘যদি ও কেবল যদি’ (If and only if) নিয়ে।

 

If and Only If
(ছবি অন্তর্জাল থেকে সংগৃহীত)

 

একটা ব্যাপার লক্ষ করুন, আমি যদি বলি যে, “x-এর মান 2”, তবে আপনারা বলতে পারেন যে, “x-এর বর্গের মান 4”।

 

কিন্তু, উলটো দিক হতে দেখা যাক, আমি যদি বলতাম যে, “x-এর বর্গের মান 4”, তবে কি আপনারা বলতে পারতেন যে, “x-এর মান 2”??? অবশ্যই না, কারণ, x-এর মান -2-ও হতে পারে।

 

এই যে কিছু একটা বলা থাকলে, তা হতে সিদ্ধান্ত টেনে অন্য কিছু বলার ব্যাপারটা, গণিতের ভাষায় একে বলা হয় Implication। একটা বাক্যের সাথে সেটা হতেই সিদ্ধান্ত টেনে আরেকটা বাক্য যুক্ত করে নতুন পাওয়া বাক্যটিকে বলা হয় Implicative Sentence বা Conditional Statement।

 

“x-এর মান 2” এই বাক্য হতে সিদ্ধান্ত হিসেবে “x-এর বর্গের মান 4” যুক্ত করে যদি বলেন যে, “যদি x-এর মান 2 হয়, তবে x-এর বর্গের মান 4”, তবে “যদি x-এর মান 2 হয়, তবে x-এর বর্গের মান 4”-এই বাক্যটি হল Implicative Sentence; “x-এর মান 2”-এই বাক্যটি হল এই Implication-এর Hypothesis বা Premises এবং “x-এর বর্গের মান 4”-এই বাক্যটি হল Conclusion বা Consequence।

 

আর হাঁ, আমরা জানি যে, “যদি x-এর বর্গের মান 4 হয়, তবে x-এর মান 2”—এই কথাটি ভুল, কিন্তু গণিতের দৃষ্টিতে এটাও একটা Implication; এবং অবশ্যই False Implication।

 

“দ্বার বন্ধ করে ভ্রমটাকে রুখি,

সত্য বলে, আমি তবে কোথা দিয়ে ঢুকি?”

 

গণিত সত্য-মিথ্যা, ভুল-সঠিক সবাইকে আসতে দেয়; পরে ভুলকে-মিথ্যাকে ঝেড়ে ফেলে দেয়। তাই, গণিত শিখতে হলে ভাবতে হয়, বলতে হয়, শিখতে হয় ভুল-সঠিক সবই, পরে ঝেড়ে ফেলে দিতে হয়।

 

যাই হোক, একটা Implicative Sentence-এর Hypothesis ও Conclusion-কে যথাক্রমে p ও q দ্বারা প্রকাশ করলে, Implication-টির সাংকেতিক প্রকাশ হবে—

p⇒q কিংবা p→q, আমরা পড়ে থাকি “p implies q”।

 

এখন দু’টি Implication যদি এমন হয় যে, প্রথমটির Hypothesis হল দ্বিতীয়টির Conclusion এবং প্রথমটির Conclusion হল দ্বিতীয়টির Hypothesis, তাহলে Implication দু’টিকে পরস্পরের Converse বলা হয়। মানে, p→q আর q→p হল একে অপরের Converse।

 

ভালভাবে খেয়াল করুন, “যদি x-এর মান 2 হয়, তবে x-এর বর্গের মান 4” এই বাক্যটি এবং “যদি x-এর বর্গের মান 4 হয়, তবে x-এর মান 2” এই বাক্যটি একে অপরের Converse।

 

আবার, “দিনে যদি সূর্য মেঘে ঢেকে না যায়, তবে ঝলমলে রৌদ্র থাকে” এই বাক্যটি এবং “দিনে যদি ঝলমলে রৌদ্র থাকে, তবে সূর্য মেঘে ঢাকেনি” এই বাক্যটি একে অপরের Converse।

 

x-এর উদাহরণে Converse দু’টি সত্যতার দিক দিয়ে একই রকম না; একটি সত্য, অপরটি মিথ্যা।

 

সূর্যের উদাহরণে Converse দু’টিই সত্যতার দিক দিয়ে একই মাপের; দু’টিই সত্য।

 

ভালভাবে লক্ষ করুন, দু’টি গাণিতিক বাক্য p ও q দ্বারা গঠিত Implication ও ঐ Implication-এর Converse— এই দু’টি যদি এমন হয় যে, এরা দু’টোই সত্যতার মাপকাঠিতে সমান, মানে দু’টোই সত্য অথবা দু’টোই মিথ্যা, তাহলে আমরা ধরে নিতে পারি যে, p ও q সমার্থক কথা; মানে p বলা থাকলে, q বলা যায়; আবার q বলা থাকলে, p বলা যায়।

 

হুম, p ও q –এর এমন ‘সমার্থক’ অবস্থাতেই ‘যদি ও কেবল যদি’ (If and only if, সংক্ষেপে iff)-এর গল্পকথা।

 

উপরে সূর্যের উদাহরণে Converse দু’টোই সত্যতার মাপে সমান; তাই আপনি ‘যদি ও কেবল যদি’ লাগিয়ে বলতে পারেন যে, “দিনে ঝলমলে রৌদ্র থাকে যদি ও কেবল যদি সূর্য মেঘে ঢাকা না থাকে”।

 

কিন্তু, x-এর উদাহরণে Converse দু’টি সত্যতার মাপকাঠিতে সমান নয়; তাই এভাবে বলা ভুল হবে যে, “x-এর মান 2 যদি ও কেবল যদি x-এর বর্গের মান 4 হয়”।

 

আমাদের নিম্ন মাধ্যমিক ও মাধ্যমিক স্তরের গণিত বইগুলিতে উপপাদ্য-৮ ও ৯ চিহ্নিত উপপাদ্য দু’টি যথাক্রমে “যদি কোন ত্রিভুজের দু’টি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলিও পরস্পর সমান হবে” এবং “যদি কোন ত্রিভুজের দু’টি কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে সমান কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুগুলিও পরস্পর সমান”। বলে রাখি, গণিতের প্রতিটা উপপাদ্য কিন্তু এক-একটা Implication; হতে পারে যে, ‘যদি…. তবে’ স্টাইলে বলা নেই। এখানে এটা স্পষ্ট যে, উপপাদ্য ৮ ও ৯ একে অপরের Converse; হাঁ, Converse Theorem বা বিপরীত উপপাদ্য। আর উপপাদ্য মানেই ‘প্রমাণিত সত্য’ ; তার মানে, দু’টো Converse Theorem মানে সত্য তথা সত্যতার মাপে একই রকম দু’টো Converse Implication। এই কারণে, যত Converse Theorem-এর জোড়া (Pair) আছে, তাদেরকে ‘যদি ও কেবল যদি’ দ্বারা যোগ করে একসাথে বলা যায়। মানে, উপপাদ্য ৮ ও ৯-কে একসাথে বলে দিতে পারেন এভাবে—“কোন ত্রিভুজের দু’টি বাহু পরস্পর সমান হবে যদি ও কেবল যদি বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হয়”।

 

আবার, খেয়াল করুন, “২৯৮ হতে শনিবার বিয়োগ করলে ৪৫৮৭ হয়” এবং “১৬ কোটি গুণ ২ কোটি সমান ৩২ কোটি হয়”— এই দু’টি কথা আলাদাভাবে দু’জন মানুষ কিংবা একই মানুষ আলাদা সময়ে বলতে পারে, কেবলমাত্র তখনই, যদি সে/তারা নির্ঘাত পাগল হয় এবং গণিতের মানতে আপত্তি নেই যে, এই কথা দু’টি ভুল তথা মিথ্যা; কিন্তু, অবাক করা হলেও—– কথা দু’টি আলাদাভাবে বলা পাগলামির লক্ষণ হলেও এদেরকে এভাবে একসাথে বলাটা নিঃসন্দেহ গাণিতিক প্রাজ্ঞতার লক্ষণ যে, “২৯৮ হতে শনিবার বিয়োগ করলে ৪৫৮৭ হয় যদি ও কেবল যদি ১৬ কোটি গুণ ২ কোটি সমান ৩২ কোটি হয়”, এবং জেনে রাখুন, গণিতের দৃষ্টিতে এভাবে বলা সঠিক তথা সত্য; কারণ, লক্ষ করুন, এখানে আমরা ‘যদি ও কেবল যদি’-র মাধ্যমে এমন দু’টি আলাদা অংশকে যুক্ত করেছি, যারা কিনা সত্যতার মাপকাঠিতে সমান, মানে মিথ্যা।

 

এই হল ‘যদি ও কেবল যদি’-র রূপরেখা।

 

ভাল থাকবেন সবাই।

 

 

আশা করি শেয়ার করে আপনার বন্ধুকেও জানাবেন।

Advertisements